区块链中的数学 – 椭圆曲线加密原理和实例演练

区块链技术 16 4 月 22, 2024 0 区块链315

本节将介绍如何使用离散域上椭圆曲线进行加密和解密过程。若果觉得阅读理解本文有困难，可以先参考之前的一些铺垫的历史文章。以后所说的椭圆曲线默认都是指离散域上模素数的椭圆曲线。

## 写在前面上一节我们介绍了[离散域上的椭圆曲线运算和安全性原理](https://learnblockchain.cn/article/1549)，有了这些基础，本节将介绍如何使用离散域上椭圆曲线进行加密和解密过程。若果觉得阅读理解本文有困难，可以先参考之前的一些铺垫的历史文章。以后所说的椭圆曲线默认都是指**离散域上模素数的椭圆曲线**。 ## 加密原理和流程利用上一节的知识，在模?（p是非常大的素数）有限域上，使用椭圆曲线来进行加密和解密也是与RSA一定程度的类似（*后续会有专门文章讲解RSA*），每一个用户都有属于自己的公钥和私钥。私钥就是用户选定的数字?（实际算法中是随机数生成器随机生成的不可预测的一个值），私钥自己秘密保存；公钥就是由?=??（G是选定的生成元），计算出来的点，公钥对外公开。总结一下：**私钥是一个不公开的数字，公钥是椭圆曲线上的一个点**。假定A与B进行加密通信，其加密的流程如下：（1）A首先将明文消息转换（编码）为$E_p(?,?)$中的$P_m(?,?)$，然后随机选定一个正整数?(同样由随机数生成器产生)，并且利用B的公钥$P_B$, 按如下计算出密文： $C_m={??,P_m+?P_B}$ 因此，密文实际上是有两个点组成。（2）B收到密文$C_m$，利用自己的私钥$n_B$进行如下计算，可以解密得到明文： $P_m+?P_B−n_B(??)=P_m+?(n_B?)−n_B(??)=P_m+?(n_B?)−kn_B(?)=P_m$ 上式中，用到了点乘法交换律: $?(n_B?)=n_B(k?)$ 解密过程简单说也就是，（1）中产生的密文中，第二个点$P_m+?P_B$减去第一个点??与自己的私钥?之积。同理，B加密信息发送给A，A解密过程也是如此。大家不妨自己构思下。 ## 实例演练椭圆曲线方程中的参数（不了解椭圆曲线方程参考[上一篇](https://learnblockchain.cn/article/1549)）选定为：?=0, ?=−4,?=199,?=(2,2)，该椭圆曲线方程为： $y^2=x^3−4$ 假设B选定的私钥为$n_B=113$，其公钥: $P_B=113?=(192,161)$ A希望将消息$P_m=(88,57)$(*注：一般完整的使用场景是一段文字先转化为椭圆曲线上的点，转化的方法可以有多种，后续如有需要可以单独介绍，这里直接使用转化的点举例，便于说明*) 加密后发送给B，于是A随机选定正整数?=103，并通过B的公钥加密得到密文： $C_m=\{103(2,2),(88,57)+103(192,161)\}=\{(96,66),(124,70)\}$ B收到密文消息后，利用自己的私钥$n_B=119$进行解密： $P_m+?P_B−n_B(??)=(124,70)−113(96,66)=(124,70)−(190,62)=(88,57)=P_m$. 注意：这里的‘+’ 是模p的点加运算，之前介绍过。到这里，B顺利解密得到明文消息，A与B之间成功完成加密通信。需要说明的是，这里是椭圆曲线参数选取比较小，便于计算和理解，实际选择是非常大的整数，提高安全性。大家可以看下实际椭圆曲线算法（英文简称：ECC）参数，p,g,n非常巨大。 ECC推荐参数：256k1 `p=FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFEFFFFFC2F a=0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 b=0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000007 G=79BE667EF9DCBBAC55A06295CE870B07029BFCDB2DCE28D959F2815B16F81798 483ADA7726A3C4655DA4FBFC0E1108A8FD17B448A68554199C47D08FFB10D4B8 n=FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFEBAAEDCE6AF48A03BBFD25E8CD0364141`———————————————— 下一节讲[椭圆曲线的签名及其验证过程](https://learnblockchain.cn/article/1551)。欢迎关注公众号：blocksight

写在前面

上一节我们介绍了离散域上的椭圆曲线运算和安全性原理，有了这些基础，本节将介绍如何使用离散域上椭圆曲线进行加密和解密过程。若果觉得阅读理解本文有困难，可以先参考之前的一些铺垫的历史文章。以后所说的椭圆曲线默认都是指离散域上模素数的椭圆曲线。

加密原理和流程

利用上一节的知识，在模?（p是非常大的素数）有限域上，使用椭圆曲线来进行加密和解密也是与RSA一定程度的类似（后续会有专门文章讲解RSA），每一个用户都有属于自己的公钥和私钥。私钥就是用户选定的数字?（实际算法中是随机数生成器随机生成的不可预测的一个值），私钥自己秘密保存；公钥就是由?=??（G是选定的生成元），计算出来的点，公钥对外公开。

总结一下：私钥是一个不公开的数字，公钥是椭圆曲线上的一个点。

假定A与B进行加密通信，其加密的流程如下：

（1）A首先将明文消息转换（编码）为$E_p(?,?)$中的$P_m(?,?)$，然后随机选定一个正整数?(同样由随机数生成器产生)，并且利用B的公钥$P_B$, 按如下计算出密文：

$C_m={??,P_m+?P_B}$

因此，密文实际上是有两个点组成。

（2）B收到密文$C_m$，利用自己的私钥$n_B$进行如下计算，可以解密得到明文：

$P_m+?P_B−n_B(??)=P_m+?(n_B?)−n_B(??)=P_m+?(n_B?)−kn_B(?)=P_m$

上式中，用到了点乘法交换律:

$?(n_B?)=n_B(k?)$

解密过程简单说也就是，（1）中产生的密文中，第二个点$P_m+?P_B$减去第一个点??与自己的私钥?之积。

同理，B加密信息发送给A，A解密过程也是如此。大家不妨自己构思下。

实例演练

椭圆曲线方程中的参数（不了解椭圆曲线方程参考上一篇）选定为：?=0, ?=−4,?=199,?=(2,2)，该椭圆曲线方程为：

$y^2=x^3−4$

假设B选定的私钥为$n_B=113$，其公钥:

$P_B=113?=(192,161)$

A希望将消息$P_m=(88,57)$(注：一般完整的使用场景是一段文字先转化为椭圆曲线上的点，转化的方法可以有多种，后续如有需要可以单独介绍，这里直接使用转化的点举例，便于说明) 加密后发送给B，于是A随机选定正整数?=103，并通过B的公钥加密得到密文：

$C_m={103(2,2),(88,57)+103(192,161)}={(96,66),(124,70)}$

B收到密文消息后，利用自己的私钥$n_B=119$进行解密：

$P_m+?P_B−n_B(??)=(124,70)−113(96,66)=(124,70)−(190,62)=(88,57)=P_m$.

注意：这里的‘+’ 是模p的点加运算，之前介绍过。

到这里，B顺利解密得到明文消息，A与B之间成功完成加密通信。需要说明的是，这里是椭圆曲线参数选取比较小，便于计算和理解，实际选择是非常大的整数，提高安全性。

大家可以看下实际椭圆曲线算法（英文简称：ECC）参数，p,g,n非常巨大。 ECC推荐参数：256k1

p=FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFEFFFFFC2F a=0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 b=0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000007 G=79BE667EF9DCBBAC55A06295CE870B07029BFCDB2DCE28D959F2815B16F81798 483ADA7726A3C4655DA4FBFC0E1108A8FD17B448A68554199C47D08FFB10D4B8 n=FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFEBAAEDCE6AF48A03BBFD25E8CD0364141————————————————

下一节讲椭圆曲线的签名及其验证过程。

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