区块链中的数学 – 参与者 < 门限值t的密钥更新Amir Herzberg方案

区块链技术 12 4 月 22, 2024 0 区块链315

本文介绍参与者少于门限值t时的方案，实质上是通过提高c的值来改变门限值。需要说明的是后m个节点虽然也参与计算了，但不是和前k节点一样（生成秘密随机数，计算准备多项式），属于被动参与，不会影响最终结果。

## 写在前面上一节讲了[动态密钥分享方案](https://learnblockchain.cn/article/1806)，攻击者必须在一个时间段内，获得门限值t (threshold)个密钥分片，由于时间限制，提高攻击难度，使得旧密钥可以安全删除。只要参与动态更新的节点数 >= 门限值t (threshold). 本文说下如果参与密钥分片更新的参与者少于门限值 t 时，该如何处理？理解本文的基础是前一篇，空中楼台终难稳固，如果不了解，建议先搞懂背景知识！ ## Amir Herzberg改进方案本文的符号含义，未提及的与上文一致！假设参与密钥分片更新的节点数为k, k < t, 参与者记为$P_i,i \in [1,2,...,k]$ 新的密钥分片更新如下： 1. 每个参与者$P_i$都随机选择一个$x_i \in Z_q^*$, 公开$g^{x_i}$给其他参与者, 2. $P_i$检查$x_i$值与其他参与者值均不同，继续执行，否则重新选择。令 $B_i(m)=\prod _{j-1}^k,j\neq i \frac{m-j}{i-j}$, 其中m 取值k+1,k+2,...,n 再随机选择$\lambda_{i1},\lambda_{i2},...,\lambda_{ik},\lambda_{ij}\in Z_q^* $，且两两不等. 使得：$x_iB_i(m)=\lambda_{i1}^{(m)}+\lambda_{i2}^{(m)}+...+\lambda_{ik}^{(m)}$ 将$\lambda_{ij}^{(m)}$发送给其他参与者$P_i,j\in [1,k]$ 3. $P_j$收到其他参与者发来的$\lambda_{ij}^{(m)}$，执行计算$$ \lambda_j^{(m)}=\sum_{i=1}^k \lambda_{ij}^{(m)} $$ 发送给其余节点$P_m,m \in [k+1,n]$ $P_i$密钥分片更新为：$s_i’=s_i+x_i*i^{t-k}$ 到此，k个参与密钥分片即子密钥更新操作完成，接下来是剩余n - k节点自行计算更新子密钥。 4. $P_m, m\in[k+1,n]$计算: $x_m= \sum_{j=1}^k \lambda_j^{(m)}$ $s_m'=s_m+x_m*m^{t-k}$ ## 原理分析步骤1是每个节点生成一个秘密随机数，使用幂的方式公开（当然，具体实现可以是多种形式）。步骤2利用公开的幂来比较自己生成的随机数是否与别人重复，要确保唯一，然后利用拉格朗日插值法构造多项式元素。步骤3 每个参与交互更新的节点准备多项式元素，供步骤4使用步骤4的节点是没有参与前三步骤的节点，也就是说不在k之内。节点单独计算，没有任何交互。总结来说，该方案的原理是利用插值法构造一个k-1次多项式,有k个点$(i,x_i), i=1,2,...,k$ , 多项式$h(x) = b_0+b_1x+...+b_{k-1}x^{k-1},x_i=h(i)$, 可得$x_m=h(m),m\in [k+1,n]$ 证明简单如下式： ![](https://img.learnblockchain.cn/2020/12/07/16073129676482.jpg) 存储的子密钥更新是通过多项式$p(x) = h(x)x^c,c = t - k$, 将原来多项式变更为 $f'(x)=f(x)+p(x)$ 参与者$P_i$存储的密钥分片更新为： $s'_i=f(i)+p(i)=s_i+x_ii^c=s_i+h(i)i^c$ 对比上一篇，可以发现当c = 0 即k = t 退化成经典的Amir Herzberg密钥更新方案。如果对以上多项式构造过程不明白，说明拉格朗日插值知识有所欠缺，建议看下该方法涉及[文章](https://learnblockchain.cn/article/1788) ## 小结本文介绍参与者少于门限值t时的方案，实质上是通过提高c的值来改变门限值。需要说明的是后m个节点虽然也参与计算了，但不是和前k节点一样（生成秘密随机数，计算准备多项式），属于被动参与，不会影响最终结果。密钥分享是密码学中一个细分方向，除了最近几篇介绍的方法方案外，还有其他的，如基于中国剩余定理的方案，动态添加或者删除参与者的方案，一次分享多个密钥（秘密）的方案等。本系列文章聚焦区块链领域，所以暂时不再进行更深入介绍。 [下一篇](https://learnblockchain.cn/article/1905)将继续介绍区块链中应用的BLS签名以及阈值签名实现相关！欢迎关注公众号：blocksight ### 相关阅读： [区块链中的数学 - Amir Herzberg动态密钥共享](https://learnblockchain.cn/article/1806) Amir Herzberg动态密钥分享方案 [区块链中的数学 - Feldman的可验证的密钥分享](https://learnblockchain.cn/article/1789) Feldman可验证密钥分享方案 [区块链中的数学 - Shamir密钥分享](https://learnblockchain.cn/article/1788) Shamir原始的密钥分享方案 [区块链中的数学 - 比特币使用的多签方式](https://learnblockchain.cn/article/1784) 比特币多签和Schnorr聚合签名 [区块链中的数学 - 随机数和伪签名](https://learnblockchain.cn/article/1783) 随机数与伪签名构造 [区块链中的数学 - EdDSA签名机制](https://learnblockchain.cn/article/1697) EdDSA的发展及优点 [区块链中的数学 - Ed25519签名](https://learnblockchain.cn/article/1663) Ed25519签名 [区块链中的数学-ElGamal算法](https://learnblockchain.cn/article/1557) ElGamal算法签名及验证&实例演练 [区块链中的数学-VRF基于ECC公钥体制的证明验证过程](https://learnblockchain.cn/article/1582) 基于椭圆曲线的VRF证明验证过程 [Schorr签名与椭圆曲线](https://learnblockchain.cn/article/2450) Schorr签名与椭圆曲线 [区块链中的数学-Uniwap自动化做市商核心算法解析](https://learnblockchain.cn/article/1494) Uniwap核心算法解析（中）

写在前面

上一节讲了动态密钥分享方案，攻击者必须在一个时间段内，获得门限值t (threshold)个密钥分片，由于时间限制，提高攻击难度，使得旧密钥可以安全删除。只要参与动态更新的节点数 >= 门限值t (threshold).

本文说下如果参与密钥分片更新的参与者少于门限值 t 时，该如何处理？

理解本文的基础是前一篇，空中楼台终难稳固，如果不了解，建议先搞懂背景知识！

Amir Herzberg改进方案

本文的符号含义，未提及的与上文一致！

假设参与密钥分片更新的节点数为k, k < t, 参与者记为$P_i,i \in [1,2,...,k]$ 新的密钥分片更新如下：

每个参与者$P_i$都随机选择一个$x_i \in Z_q^*$, 公开$g^{x_i}$给其他参与者,
$P_i$检查$x_i$值与其他参与者值均不同，继续执行，否则重新选择。令 $Bi(m)=\prod {j-1}^k,j\neq i \frac{m-j}{i-j}$, 其中m 取值k+1,k+2,...,n 再随机选择$\lambda{i1},\lambda{i2},...,\lambda{ik},\lambda{ij}\in Z_q^* $，且两两不等. 使得：$x_iBi(m)=\lambda{i1}^{(m)}+\lambda{i2}^{(m)}+...+\lambda{ik}^{(m)}$ 将$\lambda_{ij}^{(m)}$发送给其他参与者$P_i,j\in [1,k]$
$Pj$收到其他参与者发来的$\lambda{ij}^{(m)}$，执行计算$$ \lambdaj^{(m)}=\sum{i=1}^k \lambda_{ij}^{(m)} $$

发送给其余节点$P_m,m \in [k+1,n]$

$P_i$密钥分片更新为：$s_i’=s_i+x_i*i^{t-k}$

到此，k个参与密钥分片即子密钥更新操作完成，接下来是剩余n - k节点自行计算更新子密钥。
$P_m, m\in[k+1,n]$计算: $xm= \sum{j=1}^k \lambda_j^{(m)}$ $s_m'=s_m+x_m*m^{t-k}$