区块链中的数学 – Pedersen承诺

Pedersen承诺产生方式，有些类似加密，签名之类的算法。但是，作为密码学承诺重在“承诺”，并不提供解密算法，即如果只有r，无法有效地计算出隐私数据v。

## 写在前面 上一篇介绍了[密码学承诺中的hash承](https://learnblockchain.cn/article/2085)，也是最简单的承诺方式，本文继续讲用途更广泛的Pedersen承诺！ ## Pedersen Commitment Pederson承诺是密码学中承诺的一种，1992年被Torben Pryds Pedersen在“Non-Interactive and Information-Theoretic Secure Verifiable Secret Sharing”一文中提出。 目前Pedersen Commitment主要搭配椭圆曲线密码学使用（当然也可以结合指数运算）。具有**基于离散对数困难问题的强绑定性和同态加法特性的密文形式**。 以结合椭圆曲线为例来说明，Pedersen承诺核心公式表达： C = r * G + v * H 上述公式中，C为生成的承诺值，G、H为特定椭圆曲线上的生成点，r代表着盲因子（Blinding factor），v则代表着原始信息。由于G、H为特定椭圆曲线上的生成点，所以r * G、v * H可以看作是相应曲线上的公钥（r、v同理也可以视为私钥）。 承诺生成和揭露过程如图：  由于引入了随机盲因子r，对于同一个v会就能产生不同的承诺c，即便敏感隐私数据v不变，最终的承诺c也会随着r的变化而变化，因此提供了信息论安全的隐匿性。这一点类似ECDSA，Schnorr签名采用的手法。 ## Pedersen承诺加法同态 Pedersen承诺还具有加法同态特性。所谓加法同态，即两数相加和的密文等于两数的密文相加！假设明文a, b ,加密函数e，满足： c = a + b e(a) + e (b) = e(c) Pedersen承诺结合椭圆曲线天然地具备了加法同态的特性，这是椭圆曲线点运算的性质决定的。 假设有两个要承诺的信息$v_1,v_2$, 随机数$r_1,r_2$,生成对应的两个承诺： $C(v_1)=r_1*G+v_1*H$ $C(v_2)=r_2*G+v_2*H$ 则$v_1+v_2$承诺结果： $C(v_1+v_2) =(r_1+r_2)G+(v_1+v_2)*H$ $(r_1G+v_1*H)+(r_2*G+v_2*H)$ $C(v_1)+C(v_2)$ Pedersen承诺还可以扩展构造$v_1*v_2$等复杂的情况，来证明新产生的承诺满足与原始承诺之间存在指定的约束关系。 ## 小结 Pedersen承诺产生方式，有些类似加密，签名之类的算法。但是，作为密码学承诺重在“承诺”，并不提供解密算法，即如果只有r，无法有效地计算出隐私数据v。 目前Pedersen承诺在区块链中的应用主要在隐私币中，如zcash,MimbleWimble,Monero等。 其他业务系统中，适用于数据源向第三方证明承诺中的秘密数据满足一定的约束关系，其实这也是所有密码学承诺的主要的应用场景！ 既然说到了Pederson承诺，Pederson还有一个可验证的密钥分享方案，[下一节](https://learnblockchain.cn/article/2164)继续说说吧！ 原文链接：https://mp.weixin.qq.com/s/BVXgJE-rL8_r8n1xB5J-JA 欢迎关注公众号：blocksight ### 相关阅读 [区块链中的数学 - 哈希承诺](https://learnblockchain.cn/article/2085) 密码学承诺--hash承诺 [区块链中的数学 - 不经意传输](https://learnblockchain.cn/article/2022) 不经意传输协议 [区块链中的数学- BLS 基石（双线性函数）和配对](https://learnblockchain.cn/article/1963) 双线性映射（配对） [区块链中的数学 - BLS门限签名](https://learnblockchain.cn/article/1962) BLS m of n门限签名 [区块链中的数学 - BLS密钥聚合](https://learnblockchain.cn/article/1912) BLS密钥聚合 [区块链中的数学 - BLS数字签名](https://learnblockchain.cn/article/1905) BLS签名及验证 [区块链中的数学 - 参与者 < 门限值t的密钥更新Amir Herzberg方案](https://learnblockchain.cn/article/1843) Amir Herzberg改进方案 [区块链中的数学 - Feldman的可验证的密钥分享](https://learnblockchain.cn/article/1789) Feldman可验证密钥分享方案 [区块链中的数学 - Ed25519签名](https://learnblockchain.cn/article/1663) Ed25519签名 [区块链中的数学-ElGamal算法](https://learnblockchain.cn/article/1557) ElGamal算法签名及验证&实例演练 [区块链中的数学-VRF基于ECC公钥体制的证明验证过程](https://learnblockchain.cn/article/1582) 基于椭圆曲线的VRF证明验证过程 [Schorr签名与椭圆曲线](https://learnblockchain.cn/article/2450) Schorr签名与椭圆曲线 [区块链中的数学-Uniwap自动化做市商核心算法解析](https://learnblockchain.cn/article/1494) Uniwap核心算法解析（中）

写在前面

上一篇介绍了密码学承诺中的hash承，也是最简单的承诺方式，本文继续讲用途更广泛的Pedersen承诺！

Pedersen Commitment

Pederson承诺是密码学中承诺的一种，1992年被Torben Pryds Pedersen在“Non-Interactive and Information-Theoretic Secure Verifiable Secret Sharing”一文中提出。 目前Pedersen Commitment主要搭配椭圆曲线密码学使用（当然也可以结合指数运算）。具有基于离散对数困难问题的强绑定性和同态加法特性的密文形式。

以结合椭圆曲线为例来说明，Pedersen承诺核心公式表达：

C = r G + v H

上述公式中，C为生成的承诺值，G、H为特定椭圆曲线上的生成点，r代表着盲因子（Blinding factor），v则代表着原始信息。由于G、H为特定椭圆曲线上的生成点，所以r G、v H可以看作是相应曲线上的公钥（r、v同理也可以视为私钥）。

承诺生成和揭露过程如图：

由于引入了随机盲因子r，对于同一个v会就能产生不同的承诺c，即便敏感隐私数据v不变，最终的承诺c也会随着r的变化而变化，因此提供了信息论安全的隐匿性。这一点类似ECDSA，Schnorr签名采用的手法。

Pedersen承诺加法同态

Pedersen承诺还具有加法同态特性。所谓加法同态，即两数相加和的密文等于两数的密文相加！假设明文a, b ,加密函数e，满足： c = a + b e(a) + e (b) = e(c)

Pedersen承诺结合椭圆曲线天然地具备了加法同态的特性，这是椭圆曲线点运算的性质决定的。

假设有两个要承诺的信息$v_1,v_2$, 随机数$r_1,r_2$,生成对应的两个承诺： $C(v_1)=r_1G+v_1H$ $C(v_2)=r_2G+v_2H$

则$v_1+v_2$承诺结果： $C(v_1+v_2) =(r_1+r_2)G+(v_1+v_2)H$ $(r_1G+v_1H)+(r_2G+v_2H)$ $C(v_1)+C(v_2)$

Pedersen承诺还可以扩展构造$v_1*v_2$等复杂的情况，来证明新产生的承诺满足与原始承诺之间存在指定的约束关系。

小结

Pedersen承诺产生方式，有些类似加密，签名之类的算法。但是，作为密码学承诺重在“承诺”，并不提供解密算法，即如果只有r，无法有效地计算出隐私数据v。

目前Pedersen承诺在区块链中的应用主要在隐私币中，如zcash,MimbleWimble,Monero等。

其他业务系统中，适用于数据源向第三方证明承诺中的秘密数据满足一定的约束关系，其实这也是所有密码学承诺的主要的应用场景！

既然说到了Pederson承诺，Pederson还有一个可验证的密钥分享方案，下一节继续说说吧！

原文链接：https://mp.weixin.qq.com/s/BVXgJE-rL8_r8n1xB5J-JA

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• 发表于 2021-02-02 13:33
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• 学分 ( 9 )
• 分类：入门/理论